π等于多少(如何优雅地计算π?)

2020年7月27日 评论 6

不经意间中,大家又迈入了一年一度的“π日”(及其白色情人节)。二零一一年,国际性数学课研究会宣布公布,将每一年的三月十四日设为国际性数学课节。中小学数学教材告知大家,π的小数部分是一个无尽不循环小数,不可以简易用成绩彻底表明。因此恰逢π日之时,使我们追忆中小学的数学思维训练,解开π的神密面具。

π等于多少(如何优雅地计算π?)

某不会有的网址上庆贺π日的Doodle,2018三月十四日。值得一提的是照片上展现的是大厨Dominique Ansel为π日非常设计方案的苹果派。往下拖动访问 详尽食谱

π等于多少(如何优雅地计算π?)

材料来源于:piday.org

(P.S.:网编当初亲自测试过此食谱,如果有小伙伴们想在家里试着,网编只有说……实际上沒有iPhone的苹果派還是蛮美味滴)

1 π的今生前世

π便是大家常说的圆周率,是一个数学课参量,界定为圆的周长和其直徑的比率。早在远古时期,人们就发觉圆的周长两者之间直徑中间拥有不为人知的密秘♂。有国宝级文物显示信息,早在古巴比伦阶段,那时候的几何学家早已将圆周率的值测算到25/8。

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最开始的有纪录的认真细致优化算法能够上溯公元250年,古希腊文化一位数学家阿基米德根据正多边形优化算法获得了π的下界与上界各自为223/71与22/7,即3.140845< π <3.142857。

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《沉思的阿基米德》

艺术大师

年代

种类

个人收藏地

Domenico Fetti

约1620年

尼龙布料水彩画

Gemäldegalerie Alte Meister,德累斯頓

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阿基米德求圆周率的构思是最先结构圆内接不规则图形和相匹配的外切不规则图形。当边数充足大时,2个不规则图形的直径便趋于于圆周长的下界与上界。

思考题:怎样证实22/7>π?

提醒:

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优效性,一位数学家依次根据割圆术、无穷级数等方式测算π的值。1706年,美国科学家罗伯特·梅钦早已能够运用格雷果里-莱布尼茨等比级数造成的计算公式到π的第100位小数。一样在这一年,斯伯里·鲍比在《新数学导论》中第一个将π做为圆周率的专享标记,但真实让世界各国一位数学家接纳这一设置的也要得益于莱昂哈德·欧拉。1736年,欧拉在其《力学》一书里刚开始应用标记“π”,自此一位数学家们竞相仿效。

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《莱昂哈德·欧拉(1707-1783)》

艺术大师

年代

种类

个人收藏地

Jakob Emanuel Handmann

约1756年

油彩

Deutsches Museum, 德国慕尼黑

莱昂哈德·欧拉,近现代数学课先行者,迄今为止最杰出的一位数学家之一。法国数学家拉普拉斯曾那样点评欧拉的奉献:“读一读欧拉,他是任何人的教师。”

非常地,π的数值3.1415926535897......,不但是一个无理数(换句话说π是无尽不循环小数),另外也是一个超越数(说白了“超越数”,就是指不符合一切整指数代数式方程组的实数的数)。

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“超越数”一词源于欧拉1748年的评价:“他们跨越解析几何方式所至的范畴以外。”但直至1844年,其存有性才被法国数学家刘维尔证实。

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是的,网编详细介绍超越数便是以便发这张小表情……因此见到的同学们不分享评价关注吗?

2 割圆术:雅致地测算π

说到π的测算,就迫不得已提赫赫有名的“割圆术”。约公年265年,数学家刘徽开创了割圆术,用正3072边形测算出π的标值为3.1416。以后祖冲之在公年480年运用割圆术测算正12288边形的周长,获得圆周率等于355/113(即密率)。在以后的八百年内,这全是精确度最大的π预测值。

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图片出处:wikipedia

祖冲之(429~500),字文远,汉朝刘宋一位数学家。祖冲之得出了2个分数值的圆周率:22/7(“约率”)与355/113(“密率”),后面一种将圆周率精准到小数位后第7位,这一记录直至一千多年后才由沙特阿拉伯一位数学家亚尼·卡利摆脱。

割圆术的基本原理现如今来看十分简易,运用简易的小学生数学就可以论述。简单点来说,便是将圆切分成不规则图形,切分来越细,不规则图形的边数越大,不规则图形的总面积就和圆的面积越贴近。

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图片出处:bilibili

自然如果我们立在刘徽和祖冲之的时期思索,这儿还有一个知识要点急需解决,即圆的面积与直径间的关联。一样运用小学生数学,大家获得N边形的总面积 = N边形的半直径 × N边形外接圆半径

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"N边形的总面积 = N边形的半直径 × N边形外接圆半径"的证实

当N巨大时,其总面积也就极其贴近于圆,也就是圆的面积 = (圆的周长/2) × 半经。那样也就取得成功地将圆的面积与直径联络了起來。运用Wolfram Cloud,我们可以很形象化地演试割圆术的计算全过程。(你问为什么不立即用Mathematica?在线办公的网编表明不卸载掉手机游戏的状况下电脑硬盘沒有充足的室内空间安裝大型软件)

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知识要点:割圆术的迭代算法

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前原文中仅仅粗略地的详细介绍了割圆术的基本原理,在操作过程中还会继续碰到一些技术性上的小问题。这儿简易详细介绍割圆术的迭代算法,有兴趣爱好的同学们能够利用计算机仿真模拟(有时间的同学们能够试一下像祖冲之一样笔算)。

如圖以O为圆心点作圆O,随后结构正多边形。正常情况下,不规则图形能够为随意边。无失一般性,这里正六边形。从圆心点O作某一条边的垂直平分线OB,联接AB即是圆O的内接正十二边形的一条边。OB与正六边形的边交叉于点C。设 |OC| = H,|CB| = h,|OA| = R ,正六边形的周长 = M,
正十二边形的周长 = |AB| = m。因此有

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以便简便计算,令 |OA| = R =1,则有

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因此大家获得了周长的迭代更新公式计算

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前边早已论述过“N边形的总面积 = N边形的半直径 × N边形外接圆半径”,又由界定获知圆周率是“圆的周长和其直徑的比率”,故正N边形的总面积(S),周长(m),外接圆半径(R)中间有

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一样令 R =1,大家有

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融合上边的迭代更新公式计算,显而易见能够获得

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这儿m和π的字符N表明結果是在正N边形的前提条件下求取的。显而易见,伴随着边数N的扩大,求取的π的值也趋于于π的真正值。

3 无穷级数:更雅致地测算π

运用割圆法计算圆周率尽管构思非常简单,但在预估上還是较为繁杂,尤其是以往的一位数学家不象网编那样能够依靠Mathematica测算。迄今运用不规则图形测算π最精确的結果是德国科学家克里斯托夫·格林伯格在1630年获得的。因此格林伯格运用正10的40三次方(也就是1后边40个0)边形,测算获得π的第38位小数。因此,新的构思也就应时而生。

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图片出处:wikipedia

弗朗索瓦·韦达(左)、罗伯特·沃利斯(中)、戈特弗里·莱布尼茨(右)。接下去详细介绍的方式就来源于这三位高手。

韦达的无限相乘

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图片出处:twitter@fetedayy

套娃警示:这里没法“禁止套娃”~

韦达得出的实际上并并不是无穷级数,只是无限相乘。一般觉得,韦达的此项工作中是欧州最开始的相关无限项圆周率的公式计算。尽管网编暂时没有资格证书到韦达最开始是怎样进行此项证实的,但是运用大家初中的数学思维训练基础能够进行证实。证实构思便是倍角公式。

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式子两侧另外除于x,有

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这儿必须依靠一点高校的內容,运用極限

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大家有

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取 x = π/2,大家非常容易获得

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沃利斯相乘

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沃利斯相乘,别称沃利斯公式计算,由美国一位数学家罗伯特·沃利斯于1655年发觉。要严苛证实这一式子流程一些繁杂(换句话说诸位阅读者老太爷懒的看),因此大家依靠欧拉(没有错,也是他!)解决巴塞尔问题时应用的方法来证实这一式子。(这儿值得一提的是,欧拉当初“求出”巴塞尔问题的方式如今来看也不是完善的。)

最先考虑到正弦函数的麦克劳林进行:

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两侧同除于x,得

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充分考虑方程组 sin (x) / x = 0 的根坐落于 x = …,-2π,-π,π,2π,…处,因此有

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令 x = π/2,

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公式计算得证。

格雷果里-莱布尼茨公式计算

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上边提及的2个方式往往较为知名,关键是由于明确提出的時间较为早。在具体测算全过程中,大家更趋向于应用上边这一公式计算。它是由莱布尼茨于1674年发觉,被称作格雷果里-莱布尼茨公式计算。但是有的小伙伴们早已发觉,这实际上便是arctan函数的麦克劳林进行。因为太过度知名,坚信大伙儿早已烂熟于心,因此这儿就但是多详细介绍公式计算的证实了。当x取1时,arctan函数正好相当于π/4,因此相比过去的优化算法更加简易。

但是特别提示要想亲身测算的同学们,尽管格雷果里-莱布尼茨公式计算看上去测算简约,但其收敛性速率十分慢,因而如今基础不容易用此公式计算来计算圆周率。这儿强烈推荐一个印尼热血传奇一位数学家拉马努金得出的公式计算

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